蠢才那熊

出自美國電視節目：有三道門，其中一道門後是大奬，另二道門後是銘謝惠顧。由挑戰者先選擇一道門之後，主持人會根據挑戰者所挑選的門，再開啟一道後面是銘謝惠顧的門，接著問挑戰者是否要變更選擇。這裡的問題是，若挑戰者改變原先的選擇的話，對他是否有利？ 答案：是有利的，獲勝的機會會變為2/3。 總共有三道門，大奬(1/3)及二個銘謝惠顧(2/3)，結果有三種情況。 第一次選中大奬，主持人開啟一道銘謝惠顧1或2，改變選擇後結果為銘謝惠顧。 第一次選中銘謝惠顧1，主持人開啟銘謝惠顧2，改變選擇後中大奬。 第一次選中銘謝惠顧2， 主持人開啟銘謝惠顧1，改變選擇後中大奬。 所以 無論如何只要改變選擇， 最後中奬的機會是2/3，比原來1/3中奬機會大。

上帝讓他的童年時代占一生的六分之一，又過了一生的十二分之一，他開始長鬍子；再過一生的七分之一，上帝為他點燃了婚禮的燭光，婚後第五年，賜給他一個兒子。天哪，這真是個晚生的孩子；孩子活到父親一半的年齡時，殘酷的命運之神就把他帶走了；他花了四年的時間用數的科學撫慰自己的悲傷，之後也就去世了。 這個古代的數學問題概括了丟番圖的生平事績，容易求出丟番圖的年齡。 令年齡為x，則 x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x x = 84 可知丟番圖活到84歲。

10支籤裡面有2支是幸運籤，甲先抽一支籤後不必將籤放回，換乙抽一支籤。則甲和乙抽中幸運籤的機率是多少？ 共有4種情況： 甲抽中，乙也抽中 甲抽中 ，乙沒抽中 甲沒抽中 ，乙抽中 甲沒抽中，乙也沒抽中 針對這4種情況，分別計算發生的機率 甲先抽，此時10支籤裡有2支幸運籤，則甲抽中的機率是2/10。 乙後抽，因為其中一支幸運籤被甲抽中，只剩下1支幸運籤，則乙抽中的機率是1/9。 甲抽中乙也抽中的機率是2/10 * 1/9 = 1/45。 甲先抽，甲抽中的機率是2/10。 乙後抽，但乙沒抽中幸運籤的機會是8/9。因為甲抽走了1支幸運籤，剩下的9支籤裡面有8支不是幸運籤。 甲抽中乙沒抽中的機率是2/10 * 8/9 = 8/45。 甲先抽，甲沒抽中的機率是8/10。 乙後抽，乙抽中的機率是2/9。 甲沒抽中，乙抽中的機率是8/10 * 2/9 = 8/45。 甲先抽，但沒抽中的機率是8/10。 乙後抽，也沒抽中的機率是7/9。 甲沒抽中，乙也沒抽中的機率是8/10 * 7/9 = 28/45。 甲抽中的可能包含情況1和情況2 = 1/45 + 8/45 = 1/5。 乙抽中的可能包含情況1和情況3 = 1/45 + 8/45 = 1/5。 可以發現，甲跟乙無論誰先抽，抽中幸運籤的機率都是相同的。

定義。

任何集合A(set A)的冪集合(power set)會大於集合A本身。 設集合A = {a, b, c}，底下嘗試對集合A的元素和集合A的冪集合中的元素作配對。 a -> {b, c} b -> {a} c -> {a, c} 以下面方法，可以構造出一個新的集合是不在上面的配對中，由此證明集合A的幕集合大於集合A本身。首先構造一個空的集合B。 B = {} 對於和元素a配對的子集{b, c}中，不包含元素a，則將元素a加入集合B中。 B = {a} 對於和元素b配對的子集{a}中，不包含元素b，所以將元素b加入集合B中。 B = {a, b} 對於和元素c配對的子集{a, c}中，因為包含元素c，則不再加入元素c於集合B中。 B = {a, b} 如此，無論集合A中的元素如何和集合A的幕集合中的元素作配對，則總是能再找出一個子集合不存在於配對的列表中。

標準差定義為變異數的算術平方根，反映組內個體間的離散程度。 簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。 例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。

定義。